1. PROPAGACIÓN EN MEDIOS INDEFINIDOS
Sea una onda propagándose en la dirección
del eje Z, con el campo eléctrico polarizado linealmente según el eje
X
Debido a que solo existe variación de los campos según el eje Z, dicha onda viene
descrita por las ecuaciones rotacionales
de Maxwell
que en el dominio de la frecuencia pueden
escribirse de la forma
Considérese una estructura estratificada de medios semi-indefinidos,
conductores y con pérdidas dieléctricas (parámetros constitutivos 
donde
el subíndice i se refiere al medio i), separados por planos perpendiculares
al eje Z.
Las soluciones generales a las ecuaciones
anteriores, en el medio i, son
donde: 
, es la impedancia característica en general compleja del medio i;
y 
son el campo eléctrico y magnético
en el medio i; los superíndices i, r indican onda incidente y reflejada
respectivamente; 
es el factor de propagación complejo
definido por 
estando a su vez las constantes de atenuación
y de propagación 
definidas por
La dependencia temporal del campo se obtiene añadiendo el factor
.
Es conveniente recordar que el carácter de buen conductor o dieléctrico
de un medio se determina mediante el valor del parámetro (factor) Q, definido
como la razón entre la densidad de corriente de desplazamiento 
y la de conducción 
.
Una clasificación convencional de los medios, de acuerdo con el valor
de este factor, es la siguiente
- Dieléctrico: 
- Cuasi conductor (dieléctrico):
- Conductor: 
Cuando 
, se tiene un dieléctrico perfecto y cuando 
, un conductor perfecto.
2
Incidencia
Sea una onda armónica que se propaga
desde un primer medio hacia la interfaz de un segundo medio donde parte se refleja
y parte se transmite hacia un segundo medio. La solución en el primer medio es
y en el segundo
Imponiendo a las componentes tangenciales de 
y
las
condiciones de contorno en el plano Z=0, se obtiene
siendo 
el coeficiente
de reflexión para el campo eléctrico en el plano Z=0, definido por
y TL el coeficiente de transmisión
también en el plano Z=0, definido por
En el caso de que haya adaptación
de impedancias ( 
=
) no existe onda reflejada,
por lo que toda la energía incidente es absorbida por el segundo medio.
El campo eléctrico total en el primer medio
puede expresarse pues como
Definiendo el coeficiente de reflexión en
el plano Z=z como
se tiene para el campo eléctrico y
para el magnético
La impedancia de entrada Zen en un punto de coordenadas z (mirando en
la dirección creciente de z) se define como
Es importante observar que la impedancia
Zen(z) es continua a través de la interfaz y que el coeficiente 
es discontinuo.
2.1 Interfaz dieléctrico-dieléctrico
Un caso particular es el de dos dieléctricos perfectos, sin pérdidas
(
=0)
cuyas impedancias características vienen dadas por los valores reales
y el coeficiente de reflexión por
Dado que =0
se tiene que 
=0
y por tanto
y
En este caso la impedancia se reduce a
2.2
Interfaz dieléctrico-conductor perfecto
Otro caso particular es aquel en el cual el segundo medio es un conductor
perfecto ( = 0 y 
= -1). Entonces los campos en el primer medio son
3
Ondas Estacionarias
Cuando en un medio se propagan dos ondas de una misma frecuencia en direcciones
opuestas aparecen las denominadas ondas estacionarias. Para recordar este concepto
se considerará primero el caso en que los dos medios no tienen pérdidas y después
cuando el primer medio es disipativo.
3.1 Caso sin pérdidas
En el primer medio la expresión del campo eléctrico total es
Incluyendo la dependencia temporal se obtiene para el campo total la expresión
donde el primer sumando del segundo miembro
corresponde a una onda que se propaga y el segundo a una onda estacionaria.
Observar que la amplitud de la onda que se propaga viene determinada por el
coeficiente de transmisión y la onda estacionaria por el de reflexión. A la
envolvente de la ecuación anterior se denomina diagrama de onda estacionaria.
Los valores máximos de Ex1 (mínimos de Hy1) vienen
dados por
en los puntos de coordenadas
y los valores mínimos de Ex (máximos
de Hy), (supuesto 
) por
en los puntos
Razón
de onda estacionaria
La razón del valor máximo/mínimo del diagrama de onda estacionaria se
denomina razón de onda estacionaria y viene dada por
cuyo valor está comprendido entre 1 (no
existe onda reflejada) e infinito (onda estacionaria pura).
3.2
Caso con pérdidas
En este caso la expresión del campo eléctrico total en el primer medio
es
e incluyendo la dependencia temporal se
obtiene
En estos medios no tiene sentido definir el parámetro SWR, pues los máximos
y mínimos no son constantes.
4
Medidas de impedancias
De aquí el primer mínimo de campo ocurre en
. Como consecuencia el ángulo de fase 
puede determinarse, supuesta conocida
evaluando experimentalmente 
(mediante
la detección con un dispositivo adecuado, del primer mínimo de campo). En caso
de que no
sea conocida, se calcula mediante la distancia entre dos mínimos consecutivos.
El valor de 
se
puede hallar de la relación entre el valor máximo y mínimo del campo
Si la onda incidente tiene amplitud unidad, coincide
con 
y por lo tanto sólo hay que medir la amplitud
de 
.
Con estos datos y de la expresión 19 se determina
.
5
Estructuras multicapa
Se va a estudiar ahora la incidencia normal de la onda sobre una estructura
multicapa en la que existen más de dos medios. Para simplificar el análisis
se particularizará para dieléctricos sin pérdidas y al caso de tres dieléctricos.
La generalización al caso de medios con pérdidas y/o con más de tres dieléctricos
es inmediata.
5.1
Reflexión con tres dieléctricos presentes
Se considera la incidencia de
una onda sobre una estructura consistente en tres medios (1,2, y 3) separados
por planos paralelos. Los medios 1 y 3 se suponen de dimensión semiinfinita
y el medio 2 de dimensión l. Es evidente que para una onda propagándose hacia
la derecha desde el medio 2, el problema es análogo al caso estudiado en los
apartados anteriores de dos capas. Por tanto el coeficiente de reflexión en
el plano Z=0, es
donde el subíndice 23 se refiere a la superficie
de separación entre los medios 2 y 3. De acuerdo con la ecuación la impedancia de carga en 
es
De la ecuación y recordando que Z(z)
es continua en una interfaz, el coeficiente de reflexión en queda
Introduciendo la ecuación en esta ecuación y
operando se obtiene
donde
Así pues, para una onda de amplitud unidad incidiendo normalmente desde
el primer medio sobre la estructura, la amplitud de la onda reflejada viene
dada por el módulo del coeficiente de reflexión.
5.2
Lámina cuarto de onda
Si el medio 2 tiene una longitud
de un cuarto de onda 
, la ecuación se reduce
a
Para que se transmita toda la energía (adaptación
de impedancias) el coeficiente de reflexión debe de ser nulo, por tanto
que teniendo en cuenta la ecuación
conduce a
como condición para que exista adaptación de
impedancias.
5.3
Lámina de media onda
Cuando el medio 2 tiene una longitud
de media onda, la adaptación sólo es posible si los medios uno y tres son los
mismos. Como contrapartida cualquier material con espesor 
/2 está adaptado. Para la lámina de media longitud de
onda 
, la expresión
se reduce a
ahora para que exista adaptación de impedancia
debe cumplirse
que teniendo nuevamente en cuenta la
ecuación , implica
y por tanto resulta 
independientemente
del valor de .
6
Régimen estacionario y transitorio
El análisis de los apartados
anteriores es válido para ondas monocromáticas en régimen estacionario. Es importante
observar como este régimen estacionario es el límite del proceso transitorio
consistente en la superposición de múltiples ondas reflejadas y transmitidas
en los medios uno y dos. Como un ejemplo que muestra este proceso de límite,
se considerará la incidencia normal de una onda sobre una estructura formada
por tres dieléctricos numerados del 1 al 3.
Del proceso de múltiples reflexiones y transmisiones resulta en el medio
1 un campo reflejado dado por
Observando que en el segundo miembro
los sumandos posteriores al primero constituyen una progresión geométrica de
razón 
, el coeficiente
de reflexión puede escribirse
que teniendo en cuenta las igualdades
se reduce a la ecuación